如何使用Python實現求解斐波那契數列第n項

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算法一：遞歸

遞歸計算的節點個數是O(2?)的級別的，效率很低，存在大量的重復計算。

比如：

f(10) = f(9) + f(8)

f(9) = f(8) + f(7) 重復 8

f(8) = f(7) + f(6) 重復 7

時間復雜度是O(2?),極慢

def F1(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)  # 前兩項
    return F1(n-1)+F1(n-2)  # 遞歸

算法二：記憶化搜索

開一個大數組記錄中間結果，如果一個狀態被計算過，則直接查表，否則再遞歸計算。

總共有 n 個狀態，計算每個狀態的復雜度是 O(1)，所以時間復雜度是 O(n)。但由于是遞歸計算，遞歸層數太多會爆棧。

res = [None]*100000
def F2(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    if res[n]: return res[n]  # 如果已存在則直接查找返回結果
    res[n] = F2(n-1)+F2(n-2)  # 不存在則計算
    return res[n]

算法三：遞推

開一個大數組，記錄每個數的值。用循環遞推計算。

總共計算 n 個狀態，所以時間復雜度是 O(n)。但需要開一個長度是 n 的數組，內存將成為瓶頸。

def F3(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [0, 1]
    for i in range(2,n+1):
        res.append(res[i-1]+res[i-2])
    return res[n]

算法四：遞歸+滾動變量

比較優秀的一種解法。仔細觀察我們會發現，遞推時我們只需要記錄前兩項的值即可，沒有必要記錄所有值，所以我們可以用滾動變量遞推。

時間復雜度還是 O(n)，但空間復雜度變成了O(1)。

def F4(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    fn, f0, f1 = 0, 1, 0  # fn為最終結果，f0為第0項，f1為第一項，
    for i in range(2, n+1):
        fn = f0 + f1  # 前兩項和
        f0, f1 = f1, fn  # 遞推變量
    return fn

算法五：矩陣乘法+快速冪

利用矩陣運算的性質將通項公式變成冪次形式，然后用平方倍增（快速冪）的方法求解第 n 項。

所以我們想要的得到An，只需要求得A?，然后取第一行第二個元素即可。

如果只是簡單的從0開始循環求n次方，時間復雜度仍然是O(n)，并不比前面的快。我們可以考慮乘方的如下性質，即快速冪：

這樣只需要 logn 次運算即可得到結果，時間復雜度為 O(logn)

def mul(a, b):  # 首先定義二階矩陣乘法運算
    c = [[0, 0], [0, 0]]  # 定義一個空的二階矩陣，存儲結果
    for i in range(2):  # row
        for j in range(2):  # col
            for k in range(2):  # 新二階矩陣的值計算
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c
def F5(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [[1, 0], [0, 1]]  # 單位矩陣，等價于1
    A = [[1, 1], [1, 0]]  # A矩陣
    while n:
        if n & 1: res = mul(res, A)  # 如果n是奇數，或者直到n=1停止條件
        A = mul(A, A)  # 快速冪
        n >>= 1  # 整除2，向下取整
    return res[0][1]

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