r語言線性回歸實例分析

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回歸分析是一種廣泛使用的統計工具，利用已有的實驗數據，通過一個方程來定量的描述變量之間的關系，其中的變量可以分為兩類

1. 自變量，也稱之為預測變量

2. 因變量，也稱之為響應變量

自變量可以有多個，而因變量只有一個，回歸的本質就是構建因變量和自變量之間的方程。回歸分析有兩個經典的用法，第一個就是建模預測，通過構建的回歸方程來對新的數據集進行預測，第二個就是用于定量描述變量間的相關性，在GWAS中，就是利用了回歸分析的這一用法，本文首先來看下線性回歸。

顧名思義，線性回歸用線性方程來描述變量之間的關系，根據自變量的個數，又可以劃分為一元線性回歸和多元線性回歸。這里的一元和多元指的就是自變量的個數。以一元線性回歸為例，其方程如下

y = ax + b + c

其中x是自變量，y是因變量，a稱之為回歸系數，b稱之為回歸常數. c稱之為誤差，也叫做殘差，a和b合稱為回歸參數，線性回歸的目的就是求解回歸參數。以探討身高和體重間的線性關系為例，數據如下

其分布如下所示

從圖上可以直觀的感覺到，二者是一個線性關系，線性回歸的本質就是根據實際的數據來擬合出一條最佳的直線，這里的最佳非常的重要，對于相同的數據，可以擬合出多條直線，示意如下

圖中兩條直線的效果看著差不多，那么如何來定量的比較不同直線的擬合效果，從而選擇最優的呢？

通常有兩種方法，第一種稱之為最小二乘法，利用實際值和擬合值之間的差值，也就是殘差值來構建衡量擬合效果的統計量，圖示如下

圖中的散點是實際觀測值，直線上為擬合值，實際觀測值和擬合值之間的線段代表的就是殘差。對應的統計量為殘差平方和，英文如下

residual sum of squares (RSS)
sum of squared estimate of errors (SSE)
sum of squared residuals (SSR)

計算公式如下

可以看做是一個歐式距離的求解，最小二乘法將殘差平方和最小的直線作為最佳直線。第二種稱之為最大似然法，似然其實就是概率，對于擬合出的直線，計算實際觀測值出現的概率，將這個概率值作為擬合效果的標記量，概率最大的直線就認為擬合效果最佳。

其中，最小二乘法可以看做是最大似然的一個特例，可以由最大似然推導出來，在簡單的線性回歸中，最小二乘法應用廣泛。以R語言為例，進行一元線性回歸的代碼如下

其中intercept稱之為截距，對應回歸方程中的回歸常數，對于height這個自變量，其回歸系數為0.6746。這里我們直接得到了最終的回歸參數，其實在這里還有很多的細節，通過summary可以進行查看

第一個是殘差的分布情況，用五個數字來表示，分別是最小值，第一四分位數，中位數，第三四分位數，最大值。在R中，可以通過quantile這個函數來進行計算

第二個是對回歸參數的檢驗，通過t檢驗來分析回歸方程中每個變量和因變量之間的相關性，對應Pr(>|t|)的部分, p值小于0.01認為是相關的。

第三個殘差標準誤，residual standard error,  標準誤是衡量總體離散程度的統計量，計算公式如下

殘差平方和除以自由度再開根號即可得到殘差標準誤，所以最佳的擬合直線其對應的殘差標準誤的值應該也是最小的。

第四個是R2，R-squared, 計算公式如下

SST是實際觀測值的方差，SSR是擬合值的方差，R2為擬合值的方差占實際觀測值方差的比例，取值范圍為0-1。R2也稱之為擬合優度，數值越接近1，說明擬合效果越好。對于一個回歸方程的解而言，其差標準誤和R2值是確定的，對于最佳的擬合直線而言，其殘差標準誤一定是最小，R2值一定是最大。

R2除了表征擬合效果外，還有一個用途，那就是表征自變量和因變量相關性的大小，只適用于一元線性回歸，此時R2的值為自變量x和因變量y的相關系數的平方，所以在單位點的關聯分析中，可以根據R2的值篩選相關性強的位點。

這里還有一個校正之后的R2, 計算公式如下

最后一個是整體方程的顯著性檢驗，通過F檢驗來判斷顯著性。在GWAS中，利用線性回歸可以分析SNP位點和連續型的表型性狀之間的關聯，利用pvalue來確定顯著關聯的位點，進一步可以根據R2來篩選關聯性強的snp位點。

到此，相信大家對“r語言線性回歸實例分析”有了更深的了解，不妨來實際操作一番吧！這里是億速云網站，更多相關內容可以進入相關頻道進行查詢，關注我們，繼續學習！