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最小生成樹
最小生成樹（minimum spanning tree）是由n個頂點，n-1條邊，將一個連通圖連接起來，且使權值最小的結構。
最小生成樹可以用Prim（普里姆）算法或kruskal（克魯斯卡爾）算法求出。
我們將以下面的帶權連通圖為例講解這兩種算法的實現：
注：由于測試輸入數據較多，程序可以采用文件輸入
Prim（普里姆）算法
時間復雜度：O（N^2）（N為頂點數）
prim算法又稱“加點法”，用于邊數較多的帶權無向連通圖
方法：每次找與之連線權值最小的頂點，將該點加入最小生成樹集合中
注意：相同權值任選其中一個即可，但是不允許出現閉合回路的情況。
代碼部分通過以下步驟可以得到最小生成樹：
1.初始化：
lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0表示i點加入了MST。
mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，當mst[i]=0表示起點i加入MST。
由于我們規定最開始的頂點是1，所以lowcost[1]=0，MST[1]=0。即只需要對2~n進行初始化即可。
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
int graph[MAX][MAX];
void prim(int graph[][MAX], int n)
{
int lowcost[MAX];
int mst[MAX];
int i, j, min, minid, sum = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放頂點1可達點的路徑長度
mst[i] = 1;//初始化以1位起始點
}
mst[1] = 0;
2.查找最小權值及路徑更新
定義一個最小權值min和一個最小頂點ID minid，通過循環查找出min和minid，另外由于規定了某一頂點如果被連入，則lowcost[i]=0，所以不需要擔心重復點問題。所以找出的終點minid在MST[i]中可以找到對應起點，min為權值，直接輸出即可。
我們連入了一個新的頂點，自然需要對這一點可達的路徑及權值進行更新，所以循環中還應該包括路徑更新的代碼。
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];//找出權值最短的路徑長度
minid = j; //找出最小的ID
}
}
printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min);
sum += min;//求和
lowcost[minid] = 0;//該處最短路徑置為0
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (graph[minid][j] < lowcost[j])//對這一點直達的頂點進行路徑更新
{
lowcost[j] = graph[minid][j];
mst[j] = minid;
}
}
}
printf("最小權值之和=%d\n",sum);
}
具體代碼如下：
#include<stdio.h>
#define MAX 100
#define MAXCOST 0x7fffffff
int graph[MAX][MAX];
void prim(int graph[][MAX], int n)
{
int lowcost[MAX];
int mst[MAX];
int i, j, min, minid, sum = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放頂點1可達點的路徑長度
mst[i] = 1;//初始化以1位起始點
}
mst[1] = 0;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
min = MAXCOST;
minid = 0;
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0)
{
min = lowcost[j];//找出權值最短的路徑長度
minid = j; //找出最小的ID
}
}
printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min);
sum += min;//求和
lowcost[minid] = 0;//該處最短路徑置為0
for (j = 2; j <= n; j++)
{
if (graph[minid][j] < lowcost[j])//對這一點直達的頂點進行路徑更新
{
lowcost[j] = graph[minid][j];
mst[j] = minid;
}
}
}
printf("最小權值之和=%d\n",sum);
}
int main()
{
int i, j, k, m, n;
int x, y, cost;
//freopen("1.txt","r",stdin);//文件輸入
scanf("%d%d",&m,&n);//m=頂點的個數，n=邊的個數
for (i = 1; i <= m; i++)//初始化圖
{
for (j = 1; j <= m; j++)
{
graph[i][j] = MAXCOST;
}
}
for (k = 1; k <= n; k++)
{
scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost);
graph[i][j] = cost;
graph[j][i] = cost;
}
prim(graph, m);
return 0;
}
編譯運行結果：
kruskal（克魯斯卡爾）算法
時間復雜度：O（NlogN）（N為邊數）
kruskal算法又稱“加邊法”，用于邊數較少的稀疏圖
方法：每次找圖中權值最小的邊，將邊連接的兩個頂點加入最小生成樹集合中
注意：相同權值任選其中一個即可，但是不允許出現閉合回路的情況。
代碼部分通過以下步驟可以得到最小生成樹：
1.初始化：
構建邊的結構體，包括起始頂點、終止頂點，邊的權值
借用一個輔助數組vset[i]用來判斷某邊是否加入了最小生成樹集合
#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{
int vex1; //邊的起始頂點
int vex2; //邊的終止頂點
int weight; //邊的權值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{
int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;
int vset[n+1];
for(i=1;i<=n;i++) //初始化輔助數組
vset[i]=i;
k=1;//表示當前構造最小生成樹的第k條邊，初值為1
j=0;//E中邊的下標，初值為0
2.取邊和輔助集合更新
按照排好的順序依次取邊，若不屬于同一集合則將其加入最小生成樹集合，每當加入新的邊，所連接的兩個點即納入最小生成樹集合，為避免重復添加，需要進行輔助集合更新
注：由于kruskal算法需要按照權值大小順序取邊，所以應該事先對圖按權值升序，這里我采用了快速排序算法，具體算法可以參照快速排序（C語言）
while(k<e)//生成的邊數小于e時繼續循環
{
m1=E[j].vex1;
m2=E[j].vex2;//取一條邊的兩個鄰接點
sn1=vset[m1];
sn2=vset[m2];
//分別得到兩個頂點所屬的集合編號
if(sn1!=sn2)//兩頂點分屬于不同的集合，該邊是最小生成樹的一條邊
{//防止出現閉合回路
printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);
sum+=E[j].weight;
k++; //生成邊數增加
if(k>=n)
break;
for(i=1;i<=n;i++) //兩個集合統一編號
if (vset[i]==sn2) //集合編號為sn2的改為sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //掃描下一條邊
}
printf("最小權值之和=%d\n",sum);
}
具體算法實現：
#include <stdio.h>
#define MAXE 100
#define MAXV 100
typedef struct{
int vex1; //邊的起始頂點
int vex2; //邊的終止頂點
int weight; //邊的權值
}Edge;
void kruskal(Edge E[],int n,int e)
{
int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;
int vset[n+1];
for(i=1;i<=n;i++) //初始化輔助數組
vset[i]=i;
k=1;//表示當前構造最小生成樹的第k條邊，初值為1
j=0;//E中邊的下標，初值為0
while(k<e)//生成的邊數小于e時繼續循環
{
m1=E[j].vex1;
m2=E[j].vex2;//取一條邊的兩個鄰接點
sn1=vset[m1];
sn2=vset[m2];
//分別得到兩個頂點所屬的集合編號
if(sn1!=sn2)//兩頂點分屬于不同的集合，該邊是最小生成樹的一條邊
{//防止出現閉合回路
printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);
sum+=E[j].weight;
k++; //生成邊數增加
if(k>=n)
break;
for(i=1;i<=n;i++) //兩個集合統一編號
if (vset[i]==sn2) //集合編號為sn2的改為sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //掃描下一條邊
}
printf("最小權值之和=%d\n",sum);
}
int fun(Edge arr[],int low,int high)
{
int key;
Edge lowx;
lowx=arr[low];
key=arr[low].weight;
while(low<high)
{
while(low<high && arr[high].weight>=key)
high--;
if(low<high)
arr[low++]=arr[high];
while(low<high && arr[low].weight<=key)
low++;
if(low<high)
arr[high--]=arr[low];
}
arr[low]=lowx;
return low;
}
void quick_sort(Edge arr[],int start,int end)
{
int pos;
if(start<end)
{
pos=fun(arr,start,end);
quick_sort(arr,start,pos-1);
quick_sort(arr,pos+1,end);
}
}
int main()
{
Edge E[MAXE];
int nume,numn;
//freopen("1.txt","r",stdin);//文件輸入
printf("輸入頂數和邊數:\n");
scanf("%d%d",&numn,&nume);
for(int i=0;i<nume;i++)
scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight);
quick_sort(E,0,nume-1);
kruskal(E,numn,nume);
}
編譯運行結果：
以上就是本文的全部內容，希望對大家的學習有所幫助，也希望大家多多支持億速云。
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