在C語言中，實現PCA（主成分分析）降維通常涉及以下步驟：

1. 數據標準化：由于PCA對數據的尺度敏感，因此首先需要對數據進行標準化處理，使每個特征的均值為0，標準差為1。
2. 計算協方差矩陣：將標準化后的數據計算協方差矩陣，以反映特征之間的相關性。
3. 計算特征值和特征向量：對協方差矩陣進行特征值分解，得到特征值和對應的特征向量。特征值表示每個主成分對總方差的貢獻，而特征向量則是描述數據在新坐標系下的方向。
4. 選擇主成分：根據特征值大小，選擇最大的k個特征值對應的特征向量，這些特征向量稱為主成分。
5. 數據投影：將原始數據投影到由主成分構成的k維新坐標系上，得到降維后的數據。

下面是一個簡單的C語言實現示例，假設我們有一個包含n個樣本、m個特征的數據集，我們希望對其進行PCA降維到k個主成分：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

// 計算向量的點積
double dot_product(double *a, double *b, int n) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += a[i] * b[i];
    }
    return sum;
}

// 計算向量的歐氏范數
double euclidean_norm(double *a, int n) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum += a[i] * a[i];
    }
    return sqrt(sum);
}

// 計算協方差矩陣
void covariance_matrix(double **data, double *mean, double **cov, int n, int m) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        mean[i] = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            mean[i] += data[j][i];
        }
        mean[i] /= n;
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cov[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                cov[i][j] += (data[k][i] - mean[i]) * (data[k][j] - mean[j]);
            }
            cov[i][j] /= n - 1; // 使用無偏估計
        }
    }
}

// 計算特征值和特征向量
void eigen(double **cov, double *eval, double **evec, int m) {
    // 這里使用簡化的QR算法，實際應用中可能需要更復雜的實現
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        // 特征向量歸一化
        double norm = euclidean_norm(evec[i], m);
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            evec[i][j] /= norm;
        }
        // 計算特征值
        eval[i] = dot_product(cov[i], evec[i], m);
    }
    // 對特征值進行排序
    for (int i = 0; i < m - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < m; j++) {
            if (eval[i] < eval[j]) {
                double temp = eval[i];
                eval[i] = eval[j];
                eval[j] = temp;
                double *temp_vec = evec[i];
                evec[i] = evec[j];
                evec[j] = temp_vec;
            }
        }
    }
}

// PCA降維
void pca(double **data, double *mean, double **cov, int n, int m, int k, double **result) {
    // 計算協方差矩陣
    covariance_matrix(data, mean, cov, n, m);
    // 計算特征值和特征向量
    double *eval = (double *)malloc(m * sizeof(double));
    double **evec = (double **)malloc(m * sizeof(double *));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        evec[i] = (double *)malloc(m * sizeof(double));
    }
    eigen(cov, eval, evec, m);
    // 選擇主成分
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        result[i] = evec[i];
    }
    // 釋放內存
    free(eval);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        free(evec[i]);
    }
    free(evec);
}

int main() {
    // 示例數據
    double data[3][4] = {
        {1, 2, 3, 4},
        {5, 6, 7, 8},
        {9, 10, 11, 12}
    };
    double *mean = (double *)calloc(4, sizeof(double));
    double **data_ptr = (double **)malloc(3 * sizeof(double *));
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        data_ptr[i] = data[i];
    }
    // PCA降維
    int k = 2; // 降維到2維
    double **result = (double **)malloc(k * sizeof(double *));
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        result[i] = (double *)malloc(4 * sizeof(double));
    }
    pca(data_ptr, mean, result, 3, 4, k, result);
    // 輸出降維后的結果
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        printf("[%f, %f]\n", result[i][0], result[i][1]);
    }
    // 釋放內存
    free(mean);
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        free(data_ptr[i]);
    }
    free(data_ptr);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        free(result[i]);
    }
    free(result);
    return 0;
}

請注意，這個示例僅用于演示PCA降維的基本步驟，實際應用中可能需要根據具體情況進行調整和優化。特別是特征值分解部分，這里使用了簡化的QR算法，實際應用中可能需要使用更高效的算法。