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這篇文章主要講解了“計算機的數值問題有哪些”，文中的講解內容簡單清晰，易于學習與理解，下面請大家跟著小編的思路慢慢深入，一起來研究和學習“計算機的數值問題有哪些”吧！
機器數：數值在計算機內部的編碼，也就是實際存儲的 0/1 序列。
真值：機器數想要表示的實際數值，可理解為現實生活中我們平常所用的有正負號的數。
機器數與真值的對應關系就是數值在計算機內部的編碼，主要有 4 種：原碼，反碼，補碼，移碼。
原碼由 1 位符號位和數值部分組成，數值部分就是真值的絕對值。
特點
與真值的對應關系直觀
0 的表示不唯一，有 +0(00...000) 和 -0(10...000)。
加減法復雜，需要判斷符號
反碼由 1 位符號位和數值部分組成。表示一個正數時同原碼；表示一個負數時，符號位不變，數值部分各位求反。
反碼相對于原碼并沒有多大改進提升，現已不用來表示數據。
補碼也是由 1 位符號位和數值部分組成。表示一個整數時同原碼；表示一個負數時，符號位不變，數值部分各位求反，末位加 1。
原碼到補碼快速轉換(負數)：符號位不變，從右到左的第一個1不變，其他位取反。 補碼到原碼(負數)轉換方法同上，符號位不變，數值部分各位求反，末位加 1。也就是說符號位不變，從右到左的第一個1不變，其他位取反。
原因：按理說補碼到原碼應為原碼到補碼的逆操作，即減 1 再求反。設補碼為A，則原碼為 ~(A - 1)，即11...111 - ( A - 1) = 11...111 - A + 1，也就是~A + 1。 因此 ~A + 1 = ~(A - 1)
一個數的補碼取負：連同符號位各位求反，末位加1，即從右到左的第一個1不變，其他位取反。
例如 4 位補碼，[x]~補~ = 1011，[-x]~補~ = 0101
特點
0有唯一表示00...000，所以補碼能表示的數范圍比原碼反碼多1，表示范圍為 -2^n-1^ ~ 2^n-1^-1
加減法符號位能直接參與運算。
現代的計算機整數基本都采用補碼表示。
移碼主要用于浮點數的階碼部分，后面會講浮點數的階有正負，兩個浮點數比較時需要比較階碼來対階。為方便比較，將階加上一個偏置常數使其變成正數，因為加的都是同一個偏置常數，階的差值也是不會改變的。
所以移碼就是數值本身加上一個偏置常數得到，偏置常數一般是2^n-1^，或者2^n-1^-1。
上述都是定點數的表示方法，定點數顧名思義，小數點是約定不動在一個固定位置的。定點數分為定點小數和定點整數。
定點整數的小數點固定在數的最右邊，一般用來表示整數。
定點小數的小數點固定在數的左邊，一般表示浮點數的尾數部分。
而浮點數的表示類似于科學計數法，它的指數部分可以變動，相應的尾數部分也跟著變化，就像小數點在浮動一樣，所以叫做浮點數，浮點數后面再詳解。
整數分為無符號整數和有符號整數，**給定一個數，在計算機里如何存儲，表示成 0/1 序列是編碼的事，而對這 0/1 序列如何解釋是上層軟件的事情。**如c語言中可解釋為有符號數和無符號數，而java中只解釋為有符號數。
數值比較時，得確定類型才能比較。通常默認為有符號數相比，若出現無符號數，則按照無符號數相比。
概念模糊抽象，看下面的經典例子來理解： 
第一個：兩數按照有符號數相比，11...111B(-1) < 00...000B(0) 第二個：0U為無符號數，所以兩數按照無符號數相比，-1的機器數為11...111，按照無符號數解釋為2^32^ -1，這時是大于0的。11...111(2^32^-1) > 00...000(0)
注：括號前的二進制表示為數值的機器數，通常由補碼表示，括號里面的是c語言對機器數 按照無符號數或者有符號數 解釋出來的數。
看第二個例子前補充一些知識： 
判斷一個常量類型時是先將符號“踢開”，只看后面的數值在哪個區間，根據區間確定類型。
c90 和 C99 是c語言的兩套標準，兩套標準對常量的處理不同，下面的例子以 C90 說明 
第一個：2147483647為 int 型，兩邊按照有符號數相比，01...111B(2^31^ - 1) > 10...000B(-2^31^)
第二個：2147483647為 int 型，前者帶有U表示無符號數，按照無符號數相比，01...111B(231 - 1) < 10...000B(231)
第三個：2147483648為 unsigned int 型，但被強制類型轉換為int型，所以按照有符號數相比，01...111B(2^31 -1^) < 10...000B(-2^31^)
第四個：2147483648為 unsigned int 型，兩數按照無符號數相比，01...111B(2^31^ -1) < 10...000B(2^31^)
完全理解上述幾個例子后對數值比較這一塊應該沒問題了，在此再強調總結一番。
一個數據怎么存儲成 0/1 序列是編碼的事，怎么解釋這個 0/1 序列是上層軟件的事。
也就是說上述的數值比較中 2147483648 的機器數始終是10...000B，2147483647的機器數始終是01...111B，之所以出現不同的比較結果是因為 c 語言對它們進行了不同的解釋處理。
有了上面的基礎，再來看幾個程序：
打印結果如上圖注釋，原因如下：
x 的機器數為 11...111，u 的機器數為 10...0000 所以x按照無符號數解釋為2^32^ - 1 = 4294967295，按照有符號數解釋為 -1。 u按照無符號數解釋為 2^31^，按照有符號數解釋為 -2^31^
由上也可以看出機器數為10...000的數，是能表示的最小整數，取負后溢出還是它本身。
這是計算數組元素和的一個函數，按照程序所設想，length 傳入 0 時應該返回 0，但實際上并非如此。這個程序理論上會無限循環，實際運行時會發生數組越界導致異常。
理論上無限循環的原因：len 為無符號數，傳入0時，len - 1 為 -1，機器數為11...111，按無符號數解釋為2^32^ -1，是 32 位能表示的最大整數。
前面說過，有無符號數參與比較時，兩邊都按照無符號數相比，所以不管 i 怎么變化，始終小于等于右邊那個最大的值。當 i = 2^32^ -1 時，下一步又會回繞到0；
但實際運行時，肯定不會有那么長的數組，所以會發生越界錯誤。
此函數時用來比較兩個字符串str1, str2誰長，用到了庫函數strlen()，其原型如上。此函數設想 str1 長時返回 1，否則返回 0；但實際上只有 str1 和 str2 長度相等時會返回 0，其他時候都返回1；
問題就出在函數strlen()的返回值是size_t，即unsigned int。也就是說比較是按照無符號數來比較的，無符號數永遠是大于等于 0 的，所以只有兩個串兒長度相等時會使左邊式子等于 0，其他時候左邊結果的機器數中肯定有非 0 位，那么按無符號數解釋就會大于0，也就返回1了。
改進方法：返回語句改成return strlen(str1) > strlen(str2)，直接讓兩個串的長度比較，而不是做減法再與0比較。
這個例子說明調用庫函數也要小心，對其的返回類型，參數類型要有了解，否則可能就會出錯。
IEEE 754浮點數標準規定的浮點數格式如上圖所示，簡要解釋如下：
符號位：1表負，0表正
階碼用移碼表示，是一個定點整數，偏置常數是2n - 1，所以單精度的偏置常數位127，雙精度的偏置常數位1023
尾數是一個定點小數，實際表示24位有效數字，隱含了一位 1 ，實際尾數為1.*****B
負數的表示只不過是符號位發生變化，所以32位單精度浮點數能表示的極值如下：
最小正數：2-126
最大整數：(2 - 2-23) * 2127
最大負數：-2-126
最小負數：-(2 - 2-23) * 2127
64位雙精度浮點數原理同上，能表示的極值如下
最小正數：2-1022
最大整數：(2 - 2-52) * 21023
最大負數：-2-1022
最小負數：-(2 - 2-52) * 21023
所以IEEE 754 浮點數能表示的范圍如下面數軸圖所示：
浮點數每個 2^n-1^~2^n^ 區間內能表示的數的個數都是2^23^個(尾數23位)，而且等距。比如 1~2 之間有 2^23^ 個數，2~4 之間也有 2^23 ^個等距的數，所以浮點數表示的密度并不相等，距離0越近，密度越大。
也就是說并不是每個小數都能精確表示，當輸入一個不可表示的數時，機器會將其轉換為最近能表示的數。這也是為什么編寫程序時不要用浮點數來進行比較，特別是相等的情況，因為你想比較的數可能無法表示，機器自動給你轉換了。
+0 或者 -0，正負看符號位
+∞，-∞，正負看符號位
階碼全1尾數非0，NaN(Not a Number)，不是一個數，0 / 0, 0 * ∞ 等會產生NaN。
從上述的數軸圖中可以看出-2^-126^ ~ 2^-126^之間的數是表示不了的，引進非規格化數可解決這問題。非規格化數的尾數中的隱含位為0，階碼雖然全0，但階還是-126。如此便在-2^-126^~2^-126^之間添加了2 * 2^23^個數，解決了下溢問題。
同樣，有了上述的基礎知識，來看一些例子： 
這幾個題都很簡單，注意幾點就行：
精度大的轉換成精度小的可能會出問題，精度小的轉換成精度大的不會有問題。
浮點數取負直接變符號位就可。
最后一個是浮點數的加減運算問題，后面詳解，在這可以舉個例子簡單理解下：當 d 很大 f 很小時，d + f 得到的結果就等于 d， 舍去了f，所以左邊等于 0 ，右邊等于 f，兩邊不等。
這兩種運算比較簡單，只是要區分一下概念。
按位運算恰如其名，是對數值的位進行與或非運算。
邏輯運算的操作數只有 true 和 false，對數值的處理為非零即真。
移位分為邏輯移位和算數移位：
邏輯移位：不考慮符號位，左移時高位移出，低位補0；右移時低位移出，高位補0
算術移位：考慮符號位，左移時高位移出，低位補0；右移時低位移出，高位補符號位；
c語言中編譯器進行移位運算和CPU進行移位運算是不一樣的：
編譯器：進行實際移位，比如移動w位，實際也移動w位
CPU：移動 w % k ，w為所移位數，k為數據類型的位數
看下面程序幫助理解，打印結果已注釋在后面 
擴展分為 0 擴展和符號擴展，數據轉換時，短數向長數轉換時需要位擴展。
0擴展用于無符號數，在原來的數前面添足夠的0即可。
符號擴展用于有符號數，在原來的數前面添足夠的符號位即可。
位截斷，長數向短數轉化時會發生截斷，規則比較粗暴簡單，直接“砍掉”高位，留下低位即可。
長數的表示范圍肯定大于短數，所以截斷一個數可能會改變原來的值。看下面一個例子： 
經過截斷再擴展后 32768 變成了 -32768，所以再截斷時要注意溢出問題。
計算機里整數浮點數的加減乘除運算的實際過程都很復雜，內容很多，建議直接看唐朔風的計算機組成原理第六章，數字邏輯相關書籍中加法器，乘法器等的電路實現。深入理解計算機系統對各種數值算法的理論推導。公眾號內回復電子書即可獲得相應書籍。下面就只說說其中我認為比較重要需要的一些東西。
現代計算機里面整數都可以看做是用補碼表示的，統一了加減法，符號位也能和數值部分一起進行計算。
不論是無符號數還是有符號數，都先按照實際的機器數做運算，得到的結果再解釋成相應的無符號數或有符號數。
整個計算機的運算系統都是采用模運算，得出的結果如果超出計算機表示的位數，會直接丟掉高位。
例如若兩個數為a, b，對應的機器數為A, B，則a + b 相應操作為 A + B，a - b 為A + ~ B + 1。再對計算得到機器數解釋成最終結果。
乘法主要需要考慮溢出問題，n 位數乘 n 位數，結果可能需要2n位來表示。c語言中截直接斷成 n 位來實現(來自深入理解計算機系統)，但經過試驗結果似乎會自動擴展。
只要結果在你機器的表示范圍內就會自動擴展，比如兩個 short 型的數相乘結果會自動擴展成 32 位來正確表示結果，除非限定結果還是個 short 型，才會截斷。
整數除法一般沒有溢出問題，因為商的絕對值不會大于被除數的絕對值。
除了一種情況，有符號數中最小數除以-1，例如 int 型的情況：-2147483648 / -1 便會溢出，結果還是 -2147483648 本身。
在這說點 c 里面一些有趣的東西，可以算是bug吧。上述說的有符號數中的最小數，即機器數為10...000的數(設為s)取負后還是它本身，這是沒問題的，機器數也的確是相同的。所以按理說 s = -s。這在32位int型，64位long long的情況下成立，但是在short情況下不成立。所以 c 里面關于數值的東西有許多奇奇怪怪的東西，諸位感興趣可以去嘗試。
乘除法運算所花的時間遠遠多于移位加減運算的時間，因此，編譯器處理變量與常量乘除時會以移位，加法，減法的組合運算來代替乘除法。
來看一個具體例題：x為一整形變量，現要計算55 * x，給出一種計算表達式使得所用的時鐘周期最少。 
題目很簡單，主要是想說明怎么轉換。
乘以 2^n^ 相當于左移 n 位，除以 2^n^ 相當于右移 n 位。 **左移需要注意高位的溢出問題，而右移則需要注意舍入問題。一般的舍入規則是向0舍入，但用移位來實現除法是向下舍入的。**對于正數來說沒什么問題，向下舍入就是向0舍入。但是負數就有問題了，向下舍入并不是向0舍入，需要校正。
為什么移位來實現除法是向下舍入的呢，正數應該很好理解，右移之后丟掉移出的小數部分，數值自然變小了。如果是負數，右移之后丟掉小數部分數值不應該變大嗎？但別忘了負數在計算機里由補碼表示，它跟真值對應的關系是要求反的，所以換成真值后會發現數值依然是變小的。
來看一個例子理解向下舍入，應該會更清楚 
如何校正呢？ 既然負數也是向下舍入，那么在它移位之前先給它加上一個偏移量讓它變大點，那么移位后舍入不就正確了。
如果右移n位，這個偏移量就是2^n^-1，原來是 x / 2^n^，現在是(x + 2^n^ - 1) / 2n = x / 2^n^ + (2^n^-1 / 2^n^)；相當于加了一個"極限小數"來校正。
這個數可以在十進制下來理解，比如移動一位也就是一位小數的情況下，-2.1，-2.9都要舍入到-2，應該怎么操作呢？將兩個數都加上一個0.9就行了，這里0.9就是十進制一位情況下的一個極限小數，換成二進制同理，二進制 n 位的一個"極限小數"就是2^n^-1 。
1、対階
只有階數相等，尾數才能直接相加減。 対階原則：小階對齊大階，階小的尾數右移，右移尾數為階差。
注: 右移時注意隱含位 1 也要一起參與移位，為保證精度，低位移出的位不要丟掉，后續參與尾數加減。
2、尾數加減
尾數是由定點原碼小數表示，這里沒有符號位，所以加減就是普通的二進制加減法。這里注意隱含位和対階時移出的附加位也要參與運算。
3、規格化
上述尾數加減后得到結果可能五花八門，千奇百怪，需要規格化變成 IEEE 754 的標準形式。**簡單說來就是把尾數變成1. **B的形式，然后相應的調整階碼。小數點的位置與階碼息息相關，小數點浮動了，階碼當然也要相應變化。
4、結果舍入
対階和尾數規格化的時都可能右移，為保證精度，會將移出的位保留下來參與中間運算，得出最終結果后再舍入。IEEE 754規定至少保留 2 位，緊跟在尾數右邊的叫做保護位(guard)，保護位右邊的叫做舍入位(round)，為提高精度，舍入位右邊還有一位粘位(sticky)。只要粘位右邊有任何的非0數就置1，否則置0。
5、階碼溢出判斷
結果的階碼全 1 表上溢，產生異常或者結果置為∞。 結果的階碼全 0 表下溢，產生異常或者結果置0
這就能解釋前面為什么 (d + f ) - d 不一定等于 f ，d 如果很大，f 很小，対階時f 看齊d，尾數可能一直右移導致有效位沒有了變成了全0，再進行尾數加減時 d 值不變。所以左邊等于0，右邊等于 f，兩者不等。
浮點數乘法運算過程類似加減法，主要區別在于乘除法不用対階，其他過程基本一樣。也好理解，就像我們平時用科學計數法做算數時，加減法那肯定是需要指數相等，尾數才能相加減；而乘除法時可以直接尾數與尾數運算，指數與指數運算，一個道理。
感謝各位的閱讀，以上就是“計算機的數值問題有哪些”的內容了，經過本文的學習后，相信大家對計算機的數值問題有哪些這一問題有了更深刻的體會，具體使用情況還需要大家實踐驗證。這里是億速云，小編將為大家推送更多相關知識點的文章，歡迎關注！
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