幾種簡單的求素數算法的復雜度分析

    素數的算法有很多種，現在主要講兩種算法及其改進版本的復雜度分析，解釋性能提升的幅度。同時應用一個素數定理：素數的平方一定是合數，那么在范圍內最大數的開方范圍內找不到能整除的數，那么這個數是素數。應用這個定理可以將取模范圍的空間復雜度從Ｏ(n)降為O(n**0.5).現以求100000內素數為例，兩種算法分別是：
    　　１．基礎思路是去掉偶數，包括取模的范圍，代碼如下：

print(2)
for i in range(3,100000,2):
　 for a in range(3,int(i**0.5)+1,2):
　　　 if i%a == 0:
　　　　　break
　　　 else:
　　　　　print(i,end = ' ')
'''

                            *此兩層循環的算法的計算復雜度為(0.5*n*((n**0.5)+1)/2)，空間復雜度為Ｏ(n**1.5)

        　　２．應用一個素數定理：大于６的素數一定與６的倍數相鄰，代碼如下：
            　　'''
                print(2,3,end = ' ')
                 n = 100000
                 i = 5
    　　     step = 2
                while i<= n:
                         for j in range(5,int(i**0.5)+1,2):
                                if j%j == 0:
                                    break
                            else:
                                    count += 1
                            i += step
                            step = 4 if step ==2 else 2
                                    '''

1. 此算法的計算復雜度為(n/3052)(n0.5+1)/2（將總范圍分成３０為一塊，則６的倍數有５個，相鄰的數就是１０個），空間復雜度同樣為Ｏ(n1.5)

                    優化思路：
                    對于１號算法，我們知道末尾是５的數一定能被５整除，所以末位是５的數一定不是素數，j計算復雜度可以降為0.4*n*((n**0.5+1)*0.4)。不是偶數且末為不是５，就剩（１，３，７，９），所以４/10=0.4,第二層循環也是如此。優化效率提升56%(0.5**2/0.4**2-1=0.56)。
                    對于２號算法，思路也是刨去末位為５的數。例如，30~60這一塊內，６的倍數有（36,42,48,54,60）,相鄰的數是（35,37,41,43,47,49,53,55,59,61）,有兩個末位是５的數（35,55）,所以將總范圍分成３０為一塊，只需計算８個數，優化后空間復雜度為(n/30*(5*2-2))*(n**0.5+1)*0.4=4/15*n*(n**0.5+1)*0.4。相比優化后的１號算法，優化后的２號算法效率提升50%(其余項約分，只剩0.4/(4/15),所以0.4/(4/15)-1=0.5)。
   
                   綜上可見，降低算法復雜度是提高解決問題效率的不二法門。