怎么使用Python實現最速下降法求極值的方法

這篇文章給大家分享的是有關怎么使用Python實現最速下降法求極值的方法的內容。小編覺得挺實用的，因此分享給大家做個參考，一起跟隨小編過來看看吧。

對于一個多元函數，用最速下降法（又稱梯度下降法）求其極小值的迭代格式為

其中為負梯度方向，即最速下降方向，αkαk為搜索步長。

一般情況下，最優步長αkαk的確定要用到線性搜索技術，比如精確線性搜索，但是更常用的是不精確線性搜索，主要是Goldstein不精確線性搜索和Wolfe法線性搜索。

為了調用的方便，編寫一個Python文件，里面存放線性搜索的子函數，命名為linesearch.py，這里先只編寫了Goldstein線性搜索的函數，關于Goldstein原則，可以參看最優化課本。

線性搜索的代碼如下（使用版本為Python3.3）：

'''
線性搜索子函數
'''

import numpy as np
import random

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):

  flag=0

  a=0
  b=alpham
  fk=f(x)
  gk=df(x)

  phi0=fk
  dphi0=np.dot(gk,d)

  alpha=b*random.uniform(0,1)

  while(flag==0):
    newfk=f(x+alpha*d)
    phi=newfk
    if(phi-phi0<=rho*alpha*dphi0):
      if(phi-phi0>=(1-rho)*alpha*dphi0):
        flag=1
      else:
        a=alpha
        b=b
        if(b<alpham):
          alpha=(a+b)/2
        else:
          alpha=t*alpha
    else:
      a=a
      b=alpha
      alpha=(a+b)/2
  return alpha

上述函數的輸入參數主要包括一個多元函數f，其導數df，當前迭代點x和當前搜索方向d，返回值是根據Goldstein準則確定的搜索步長。

我們仍以Rosenbrock函數為例，即有

于是可得函數的梯度為

最速下降法的代碼如下：

"""
最速下降法
Rosenbrock函數
函數 f(x)=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2
梯度 g(x)=(-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)),200*(x(2)-x(1)^2))^(T)
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch

def rosenbrock(x):
  return 100*(x[1]-x[0]**2)**2+(1-x[0])**2

def jacobian(x):
  return np.array([-400*x[0]*(x[1]-x[0]**2)-2*(1-x[0]),200*(x[1]-x[0]**2)])


X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=100*(x2-x1**2)**2+(1-x1)**2; # 給定的函數
plt.contour(x1,x2,f,20) # 畫出函數的20條輪廓線

def steepest(x0):

  print('初始點為:')
  print(x0,'\n')  
  imax = 20000
  W=np.zeros((2,imax))
  W[:,0] = x0
  i = 1   
  x = x0
  grad = jacobian(x)
  delta = sum(grad**2) # 初始誤差


  while i<imax and delta>10**(-5):
    p = -jacobian(x)
    x0=x
    alpha = goldsteinsearch(rosenbrock,jacobian,p,x,1,0.1,2)
    x = x + alpha*p
    W[:,i] = x
    grad = jacobian(x)
    delta = sum(grad**2)
    i=i+1

  print("迭代次數為:",i)
  print("近似最優解為:")
  print(x,'\n')  
  W=W[:,0:i] # 記錄迭代點
  return W

x0 = np.array([-1.2,1])
W=steepest(x0)

plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 畫出迭代點收斂的軌跡
plt.show()

為了實現不同文件中函數的調用，我們先用import函數導入了線性搜索的子函數，也就是下面的2行代碼

import linesearch
from linesearch import goldsteinsearch

當然，如果把定義goldsteinsearch函數的代碼直接放到程序里面，就不需要這么麻煩了，但是那樣的話，不僅會使程序顯得很長，而且不便于goldsteinsearch函數的重用。

此外，Python對函數式編程也支持的很好，在定義goldsteinsearch函數時，可以允許抽象的函數f，df作為其輸入參數，只要在調用時實例化就可以了。與Matlab不同的是，傳遞函數作為參數時，Python是不需要使用@將其變為函數句柄的。

運行結果為

初始點為:

[-1.2 1. ] 

迭代次數為: 1504

近似最優解為:

[ 1.00318532 1.00639618]

迭代點的軌跡為

由于在線性搜索子程序中使用了隨機函數，初始搜索點是隨機產生的，因此每次運行的結果不太相同，比如再運行一次程序，得到

初始點為:
[-1.2 1. ] 

迭代次數為: 1994

近似最優解為:
[ 0.99735222 0.99469882]

所得圖像為

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